let z1, z2, z3, z4 be Element of F_Complex; ( z2 <> 0. F_Complex & z4 <> 0. F_Complex implies (z1 / z2) * (z3 / z4) = (z1 * z3) / (z2 * z4) )
reconsider z19 = z1, z29 = z2, z39 = z3, z49 = z4 as Element of COMPLEX by Def1;
assume A1:
z2 <> 0. F_Complex
; ( not z4 <> 0. F_Complex or (z1 / z2) * (z3 / z4) = (z1 * z3) / (z2 * z4) )
assume A2:
z4 <> 0. F_Complex
; (z1 / z2) * (z3 / z4) = (z1 * z3) / (z2 * z4)
then A3:
z2 * z4 <> 0. F_Complex
by A1, VECTSP_1:12;
A4:
z39 / z49 = z3 / z4
by A2, Th6;
z19 / z29 = z1 / z2
by A1, Th6;
hence (z1 / z2) * (z3 / z4) =
(z19 * z39) / (z29 * z49)
by A4, XCMPLX_1:76
.=
(z1 * z3) / (z2 * z4)
by A3, Th6
;
verum