let n be Nat; for p1, p2, q1, q2 being Point of (TOP-REAL n) holds |((p1 + p2),(q1 + q2))| = ((|(p1,q1)| + |(p1,q2)|) + |(p2,q1)|) + |(p2,q2)|
let p1, p2, q1, q2 be Point of (TOP-REAL n); |((p1 + p2),(q1 + q2))| = ((|(p1,q1)| + |(p1,q2)|) + |(p2,q1)|) + |(p2,q2)|
A1:
( |((p1 + p2),q1)| = |(p1,q1)| + |(p2,q1)| & |((p1 + p2),q2)| = |(p1,q2)| + |(p2,q2)| )
by Th16;
|((p1 + p2),(q1 + q2))| =
|((p1 + p2),q1)| + |((p1 + p2),q2)|
by Th16
.=
((|(p1,q1)| + |(p1,q2)|) + |(p2,q1)|) + |(p2,q2)|
by A1
;
hence
|((p1 + p2),(q1 + q2))| = ((|(p1,q1)| + |(p1,q2)|) + |(p2,q1)|) + |(p2,q2)|
; verum