let C be Simple_closed_curve; for A1, A2 being Subset of (TOP-REAL 2)
for p1, p2 being Point of (TOP-REAL 2) st A1 is_an_arc_of p1,p2 & A2 is_an_arc_of p1,p2 & A1 c= C & A2 c= C & A1 /\ A2 = {p1,p2} holds
A1 \/ A2 = C
let A1, A2 be Subset of (TOP-REAL 2); for p1, p2 being Point of (TOP-REAL 2) st A1 is_an_arc_of p1,p2 & A2 is_an_arc_of p1,p2 & A1 c= C & A2 c= C & A1 /\ A2 = {p1,p2} holds
A1 \/ A2 = C
let p1, p2 be Point of (TOP-REAL 2); ( A1 is_an_arc_of p1,p2 & A2 is_an_arc_of p1,p2 & A1 c= C & A2 c= C & A1 /\ A2 = {p1,p2} implies A1 \/ A2 = C )
assume that
A1:
A1 is_an_arc_of p1,p2
and
A2:
A2 is_an_arc_of p1,p2
and
A3:
( A1 c= C & A2 c= C )
and
A4:
A1 /\ A2 = {p1,p2}
; A1 \/ A2 = C
A1 <> A2
by A2, A4, Th12;
hence
A1 \/ A2 = C
by A1, A2, A3, Th11; verum