let K be Field; for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
M1 - (M2 - M3) = M1 + (M3 - M2)
let M1, M2, M3 be Matrix of K; ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies M1 - (M2 - M3) = M1 + (M3 - M2) )
assume that
A1:
len M1 = len M2
and
A2:
len M2 = len M3
and
A3:
width M1 = width M2
and
A4:
width M2 = width M3
; M1 - (M2 - M3) = M1 + (M3 - M2)
A5:
( len (- M3) = len M1 & width (- M3) = width M1 )
by A1, A2, A3, A4, MATRIX_3:def 2;
then M1 - (M2 - M3) =
M1 + (- ((- M3) + M2))
by A1, A3, MATRIX_3:2
.=
M1 + ((- (- M3)) + (- M2))
by A1, A3, A5, Th12
.=
M1 + (M3 + (- M2))
by Th1
;
hence
M1 - (M2 - M3) = M1 + (M3 - M2)
; verum