let K be Field; for M1, M2, M3 being Matrix of K st len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 holds
(M3 - M1) - (M3 - M2) = - (M1 - M2)
let M1, M2, M3 be Matrix of K; ( len M1 = len M2 & len M2 = len M3 & width M1 = width M2 & width M2 = width M3 implies (M3 - M1) - (M3 - M2) = - (M1 - M2) )
assume that
A1:
len M1 = len M2
and
A2:
len M2 = len M3
and
A3:
width M1 = width M2
and
A4:
width M2 = width M3
; (M3 - M1) - (M3 - M2) = - (M1 - M2)
A5:
( len (- M1) = len M1 & width (- M1) = width M1 )
by MATRIX_3:def 2;
A6:
( len (- M2) = len M2 & width (- M2) = width M2 )
by MATRIX_3:def 2;
(M3 - M1) - (M3 - M2) =
M2 - M1
by A1, A2, A3, A4, Th18
.=
(- M1) + M2
by A1, A3, A5, MATRIX_3:2
.=
(- M1) + (- (- M2))
by Th1
.=
- (M1 + (- M2))
by A1, A3, A6, Th12
;
hence
(M3 - M1) - (M3 - M2) = - (M1 - M2)
; verum