let K be Field; for M1, M2 being Matrix of K st len M1 = len M2 & width M1 = width M2 & M1 + M2 = 0. (K,(len M1),(width M1)) holds
M2 = - M1
let M1, M2 be Matrix of K; ( len M1 = len M2 & width M1 = width M2 & M1 + M2 = 0. (K,(len M1),(width M1)) implies M2 = - M1 )
assume that
A1:
( len M1 = len M2 & width M1 = width M2 )
and
A2:
M1 + M2 = 0. (K,(len M1),(width M1))
; M2 = - M1
A3:
( len (- M2) = len M2 & width (- M2) = width M2 )
by MATRIX_3:def 2;
M1 - (- M2) = 0. (K,(len M1),(width M1))
by A2, Th1;
then
M1 = - M2
by A1, A3, Th7;
hence
M2 = - M1
by Th1; verum